题目

如图，棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB=1，AC= ，BC=BB1=2． （Ⅰ）求证：AC⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）求二面角A﹣C1D﹣C的平面角的余弦值． 答案：证明：（Ⅰ）∵在底面ABCD中，AB=1，AC= 3 ，BC=2， ∴AB2+AC2=BC2，∴AB⊥AC，∵侧棱AA1⊥底面ABCD，∴AA1⊥AC，又∵AA1∩AB=A，AA1，AB⊂平面ABB1A1，∴AC⊥平面ABB1A1．（Ⅱ）解：过点C作CP⊥C1D于P，连接AP，由（Ⅰ）可知，AC⊥平面DCC1D1，∠CPA是二面角A﹣C1D﹣C的平面角，∵CC1=BB1=2，CD=AB=1，∴CP= DC×CC1DC1 = 1×21+4 = 255 ，∴tan ∠CPA=ACCP = 152 ，∴cos ∠CPA=21919 ，∴二面角A﹣C1D﹣C的平面角的余弦值为 21919 ．

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