题目

如果一个函数的值域与其定义域相同，则称该函数为“同域函数”.已知函数 的定义域为 且 . （Ⅰ）若 ， ，求 的定义域； （Ⅱ）当 时，若 为“同域函数”，求实数 的值； （Ⅲ）若存在实数 且 ，使得 为“同域函数”，求实数 的取值范围. 答案：解：（Ⅰ）当 a=−2 ， b=3 时，由题意知： {−2x2+3x−1≥0x≥0 ，解得： 12≤x≤1 . ∴ f(x) 的定义域为 [12,1] ； （Ⅱ）当 a=1 时， f(x)=x2+bx+2(x≥0) ， ①当 −b2≤0 ，即 b≥0 时， f(x) 的定义域为 [0,+∞) ，值域为 [2,+∞) ， ∴ b≥0 时， f(x) 不是“同域函数”. ②当 −b2>0 ，即 b<0 时，当且仅当 Δ=b2−8=0 时， f(x) 为“同域函数”. ∴ b=−22 . 综上所述， b 的值为 −22 . （Ⅲ）设 f(x) 的定义域为 A ，值域为 B . ①当 a<−1 时， a+1<0 ，此时， 0∉A ， 0∈B ，从而 A≠B ， ∴ f(x) 不是“同域函数”. ②当 −1<a<0 ，即 a+1>0 ， 设 x0=−b−b2−4a(a+1)2a ，则 f(x) 的定义域 A=[0,x0] . ①当 −b2a≤0 ，即 b≤0 时， f(x) 的值域 B=[0,a+1] . 若 f(x) 为“同域函数”，则 x0=a+1 ， 从而， b=−(a+1)3 ， 又∵ −1<a<0 ，∴ b 的取值范围为 (−1,0) . ②当 −b2a>0 ，即 b>0 时， f(x) 的值域 B=[0,4a(a+1)−b24a] . 若 f(x) 为“同域函数”，则 x0=4a(a+1)−b24a ， 从而， b=b2−4a(a+1)(−a−1)     (*) 此时，由 −a−1<0 ， b>0 可知 (*) 不成立. 综上所述， b 的取值范围为 (−1,0)

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