题目

如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5．OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C． （1） 试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由； （2） 若PC=2 ，求⊙O的半径和线段PB的长； （3） 若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取值范围． 答案： 解：AB=AC，理由如下： 连接OB．∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，∴∠OBA=∠OAC=90°，∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠APC=90°，∵OP=OB，∴∠OBP=∠OPB，∵∠OPB=∠APC，∴∠ACP=∠ABC，∴AB=AC； 解：延长AP交⊙O于D，连接BD， 设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5﹣r，则AB2=OA2﹣OB2=52﹣r2，AC2=PC2﹣PA2= (25)2 ﹣（5﹣r）2，∴52﹣r2= (25)2 ﹣（5﹣r）2，解得：r=3，∴AB=AC=4，∵PD是直径，∴∠PBD=90°=∠PAC，又∵∠DPB=∠CPA，∴△DPB∽△CPA，∴ CPPD = APBP ，∴ 253+3 = 5−3BP ，解得：PB= 655 ．∴⊙O的半径为3，线段PB的长为 655 ； 解：作出线段AC的垂直平分线MN，作OE⊥MN，则可以推出OE= 12 AC= 12 AB= 1252−r2 又∵圆O与直线MN有交点，∴OE= 1252−r2 ≤r， 25−r2 ≤2r，25﹣r2≤4r2，r2≥5，∴r≥ 5 ，又∵圆O与直线相离，∴r＜5，即 5 ≤r＜5．

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