题目

如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE ， ∠DAE的平分线AG与CD边交于点G ， 与BC的延长线交于点F ． 设 ＝λ（λ＞0）． （1） 若AB＝2，λ＝1，求线段CF的长． （2） 连接EG ， 若EG⊥AF ， ①求证：点G为CD边的中点． ②求λ的值． 答案： 解：∵在正方形ABCD中，AD∥BC， ∴∠DAG＝∠F， 又∵AG平分∠DAE， ∴∠DAG＝∠EAG， ∴∠EAG＝∠F， ∴EA＝EF， ∵AB＝2，∠B＝90°，点E为BC的中点， ∴BE＝EC＝1， ∴AE＝ AB2+BE2 ＝ 5 ， ∴EF＝ 5 ， ∴CF＝EF﹣EC＝ 5 ﹣1； 解：①证明：∵EA＝EF，EG⊥AF， ∴AG＝FG， 在△ADG和△FCG中 {∠D=∠GCF∠AGD=∠FGCAG=FG ， ∴△ADG≌△FCG（AAS）， ∴DG＝CG， 即点G为CD的中点； ②设CD＝2a，则CG＝a， 由①知，CF＝DA＝2a， ∵EG⊥AF，∠GDF＝90°， ∴∠EGC+∠CGF＝90°，∠F+∠CGF＝90°，∠ECG＝∠GCF＝90°， ∴∠EGC＝∠F， ∴△EGC∽△GFC， ∴ ECGC=GCFC ， ∵GC＝a，FC＝2a， ∴ GCFC=12 ， ∴ ECGC=12 ， ∴EC＝ 12 a，BE＝BC﹣EC＝2a﹣ 12 a＝ 32 a， ∴λ＝ CEEB=12a32a=13 ．

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