题目

已知：如图，∠ABC，射线BC上一点D. （1） 求作：等腰△PBD，使线段BD为等腰△PBD的底边，点P在∠ABC内部，且点P到∠ABC两边的距离相等. （2） 在(1)的条件下，若DP⊥AB，求∠ABC的度数. 答案： 解：如图所示；点P是∠ABC的平分线与线段BD的垂直平分线的交点，如图点P即为所求； 解：在(1)的条件下，若DP⊥AB，如图： ∵  由(1)可知：∠ABC的平分线BK，线段BD的垂直平分线MN，射线BK与直线MN的交点P, ∴∠ABP=∠PBD （角平线的定义） ∠PBD=∠PDB （垂直平分线的性质） ∴∠ABP=∠PBD=∠PDB, ∵ DP⊥AB, ∴∠ABD+∠PDB=90∘ ∵∠ABD=∠ABP+∠PBD , 且 ∠ABP=∠PBD=∠PDB （已证） ∴∠ABP=∠PBD=∠PDB=90∘×13=30∘, ∵∠ABC=∠ABP+∠PBD , ∴∠ABC=30∘+30∘=60∘.

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