题目

在“基本不等式”应用探究课中，甲和乙探讨了下面两个问题： （1） 已知正数 、 满足 ，求 的最小值. 甲给出的解法是：由 ，得 ， 则 ，所以 的最小值为8 而乙却说这是错的.请你指出其中的问题，并给出正确解法； （2） 结合上述问题（1）的结构形式，试求函数 的最小值. 答案： 解：甲的解法错误， 原因是：使用了两次基本不等式，两次基本不等式取等号的情况不能同时成立. 正确解法： 1x+2y=(1x+2y)(x+2y)=1+2yx+2xy+4≥5+24=9 ， 当且仅当 x=y=13 时等号成立. 解：令 x=m ， 1−2x=n ，则 m>0 ， n>0 ， 即可将“求函数 f(x)=1x+31−2x 最小值”转化为“已知 2m+n=1 ，求 (1m+3n)min ”， 因为 1m+3n=(1m+3n)(2m+n)=5+nm+6mn≥5+26 ，当且仅当 m=12+6 等号成立， 所以当 x=12+6 时，函数 f(x)=1x+31−2x 取最小值，最小值为 5+26 .

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