题目

如图，BD是矩形ABCD的对角线. （1） 求作⊙A，使得⊙A与BD相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2） 在（1）的条件下，设BD与⊙A相切于点E，CF⊥BD，垂足为F.若直线CF与⊙A相切于点G，求的值. 答案： 解：如图所示，⊙A即为所求作： 解：根据题意，作出图形如下： 设∠ADB=α，⊙A的半径为r， ∵BD与⊙A相切于点E，CF与⊙A相切于点G， ∴AE⊥BD，AG⊥CG，即∠AEF＝∠AGF＝90°， ∵CF⊥BD， ∴∠EFG＝90°， ∴四边形AEFG是矩形， 又AE=AG=r， ∴四边形AEFG是正方形， ∴EF=AE=r， 在Rt△AEB和Rt△DAB中，∠BAE+∠ABD=90°，∠ADB+∠ABD=90°， ∴∠BAE=∠ADB=α， 在Rt△ABE中，tan∠BAE=BEAE， ∴BE=rtanα， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴∠ABE=∠CDF，又∠AEB=∠CFD=90°， ∴△ABE≌△CDF， ∴BE=DF=rtanα， ∴DE=DF+EF=rtanα+r， 在Rt△ADE中，tan∠ADE=AEDE，即DE⋅tanα=AE， ∴(rtanα+r)tanα=r，即tan2α+tanα−1=0， ∵tanα>0， ∴tanα=5−12，即tan∠ADB的值为5−12.

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