题目

如图，在四边形ABCD中，∠A＝x°，∠C＝y°（0°＜x＜180°，0°＜y＜180°）． （1） ∠ABC+∠ADC＝；（用含x，y的代数式表示） （2） 如图1，若x＝y＝90°，DE平分∠ADC，BF平分与∠ABC相邻的外角，请写出DE与BF的位置关系，并说明理由： （3） 如图2，∠DFB为四边形ABCD的∠ABC、∠ADC相邻的外角角平分线构成的锐角．①当x＜y时，若x+y＝140°，∠DFB＝30°，试求x、y；②作图时发现∠DFB不一定存在，请直接指出x、y满足什么条件时，∠DFB不存在． 答案： 【1】360°-x°-y° 解：DE⊥BF，理由如下： 如图1，延长DE交BF于点H， ∵DE平分∠ADC，BF平分与∠ABC相邻的外角， ∴∠CDH=12∠ADC，∠CBH=12∠MBC， 由（1）可得：∠ABC+∠ADC=360°-∠A-∠C ∵∠MBC+∠ABC=180°，∠A=∠C ＝90°， ∴∠MBC=∠ADC， ∴∠CDH=∠CBH， 又∵∠DEC=∠BEH， ∴∠BHE=∠C ＝90°， ∴DE⊥BF. 解：①由（1）得：∠ABC+∠ADC=360°-x°-y°， ∴180°-∠MBC+180°-∠CDN=360°-x°-y°， ∴∠MBC+∠CDN=x°+y°， ∵∠DFB为四边形ABCD的∠ABC、∠ADC相邻的外角角平分线构成的锐角，x°+y°=140°， ∴∠FBC+∠FDC=12（x°+y°）=70°， ∵在四边形ABFD中，∠DFB+∠A+∠ABC+∠ADC+∠FBC+∠FDC=360°， ∴30°+x°+360°-x°-y°+70°=360°， ∴y=100°， ∴x=40°； ②若x=y，∠DFB不存在，理由如下： ∵x+y=140°，x=y， ∴x=y=70°， 由①可知：在四边形ABFD中，∠DFB+∠A+∠ABC+∠ADC+∠FBC+∠FDC=360°， ∴∠DFB+70°+360°-140°+70°=360°+∠DFB， ∴∠DFB=0°， ∴当x=y时，∠DFB不存在.

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