题目

已知函数 ． （1） 当 时，求函数 的极小值； （2） 当 时，讨论 的单调性； （3） 若函数 在区间 上有且只有一个零点，求 的取值范围． 答案： 解：（Ⅰ）当 m=0 时： f′(x)=(x+1)ex ，令 f′(x)=0 解得 x=−1 ，又因为当 x∈(−∞,−1) ， f′(x)<0 ，函数 f(x) 为减函数；当 x∈(−1,+∞) ， f′(x)>0 ，函数 f(x) 为增函数.所以， f(x) 的极小值为 f(−1)=−1e . 解：f′(x)=(x+1)(ex−m) .当 m>0 时，由 f′(x)=0 ，得 x=−1 或 x=lnm .(ⅰ)若 m=1e ，则 f′(x)=(x+1)(ex−1e)≥0 .故 f（x） 在 (−∞,+∞) 上单调递增；（ⅱ）若 m>1e ，则 lnm>−1 .故当 f'（x） 时， x<-1或x>lnm ；当 f′(x)<0 时， −1<x<lnm .所以 f（x） 在 (−∞,−1) ， (lnm,+∞) 单调递增，在 (−1,lnm) 单调递减.(ⅲ)若 0<m<1e ，则 lnm<−1 .故当 f′(x)>0 时， x<lnm或x>-1 ；当 f'（x） 时， lnm<x<−1 .所以 f（x） 在 (−∞,lnm) ， (−1,+∞) 单调递增，在 (lnm,−1) 单调递减. 解：（1）当 m=0 时， f(x)=xex ，令 f(x)=0 ，得 x=0 .因为当 x<0 时， f(x)<0 ，当 x>0 时， f(x)>0 ，所以此时 f(x) 在区间 (−∞,1) 上有且只有一个零点（2）当 m>0 时：（ⅰ）当 m=1e 时，由（Ⅱ）可知 f(x) 在 (−∞,+∞) 上单调递增，且 f(−1)=−1e<0 ， f(1)=e−2e>0 ，此时 f(x) 在区间 (−∞,1) 上有且只有一个零点.（ⅱ）当 m>1e 时，由（Ⅱ）的单调性结合 f(−1)<0 ，又 f(lnm)<f(−1)<0 ，只需讨论 f(1)=e−2m 的符号：当 1e<m<e2 时， f(1)>0 ， f(x) 在区间 (−∞，1) 上有且只有一个零点；当 m≥e2 时， f(1)≤0 ，函数 f(x) 在区间 (−∞，1) 上无零点当 0<m<1e 时，由（Ⅱ）的单调性结合 f(−1)<0 ， f(1)=e−2m>0 ， f(lnm)=−m2ln2m−m2<0 ，此时 f(x) 在区间 (−∞,1) 上有且只有一个零点.综上所述， 0≤m<e2

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