题目

已知函数 ， ，其中 为自然对数的底数. （1） 求不等式 的解集； （2） 若函数 有两个极值点 ， ( )(若 是函数 的极大值或极小值，则m为函数 的极值点，极大值点与极小值点统称为极值点). ①求a的取值范围； ②证明： . 答案： 解：由 f(x)>(e−1)x+1 得 ex>(e−1)x+1,ex−(e−1)x−1>0 令 F(x)=ex−(e−1)x−1 ，∴ F′(x)=ex−(e−1) ，令 F′(x)=0⇒x=ln(e−1) 当 x<ln(e−1) 时， F′(x)<0 ， F(x) 递减；当 x>ln(e−1) 时， F′(x)>0 ， F(x) 递增∴ F(x)min=F(ln(e−1))=e−1−(e−1)ln(e−1)−1=e−2−(e−1)ln(e−1)=(e−1)[e−2e−1−ln(e−1)]<0 注意到 F(0)=0,F(1)=0 ，结合单调性知不等式的解集为 (−∞,0)∪(1,+∞) 解： h(x)=ex−12x2−ax h′(x)=ex−x−a ，由题意知 ex−x−a=0 有 R 上有两个不等的实根 令 H(x)=ex−x−a,H′(x)=ex−1 ，令 H′(x)=0⇒x=0 当 x<0 时， H′(x)<0 ， H(x) 递减；当 x>0 时， H′(x)>0 ， H(x) 递增， ∴ H(x)min=H(0)=1−a 要使 H(x) 有两个零点，则 1−a<0⇒a>1 ，此时注意到 H(−a)=e−a>0 H(a+1)=ea+1−2a−1>(a+1)2−2a−1=a2>0 ，∴ H(x) 在 (−a,0) 和 (0,a+1) 上各有一个零点，满足题意，故 a 的取值范围为 (1,+∞) ②由 x1,x2 为 h(x) 的2个极值点，且 x1<x2 ∴ x1,x2 满足 ex1−x1−a=ex2−x2−a=0 且由①知 x1<0,x2>0 ∴ h(x) 在 (−∞,x1) 上单调递增，在 (x1,x2) 上单调递减，在 (x2,+∞) 上单调递增 则 x1 是 h(x) 的极大值点， x2 是极小值点 ∴ h(x1)+h(x2)>h(−x2)+h(x2) 设 G(x)=h(−x)+h(x)=ex+e−x−x2 ，则 G(x) 为偶函数 G′(x)=ex−e−x−2x ， G′′(x)=ex+e−x−2≥0 ∴ G′(x) 在 (−∞,+∞) 上单调递增 由 x>0 时， G′(x)>G′(0)=0 ，∴ G(x) 在 (0,+∞) 上单调递增 ∴ G(x)>G(0)=2 ， ∀x∈(0,+∞) 又 G(x) 为偶函数，∴ G(x)>G(0)=2 ， ∀x≠0 ，∴ h(x1)+h(−x2)>2 从而 h(x1)+h(x2)>2 ．

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