题目

已知数列 为等差数列， 是数列 的前n项和，且 ， ，数列 满足 ． （1） 求数列 ， 的通项公式； （2） 令 ，证明： ． 答案： 解：设等差数列 {an} 的公差为 d ， ∴{a1+4d=53a1+3d=a1+5d ，解得 {a1=1d=1 ， ∴数列 {an} 的通项公式为 an=n . ∴b1+2b2+⋯nbn=(2n−2)bn+2 ， 当 n≥2 时， b1+2b2+⋯(n−1)bn−1=(2n−4)bn−1+2 ⇒(2n−4)bn−1=(n−2)bn⇒bnbn−1=2 ， 即 {bn} 是等比数列，且 b1=2 ，  q=2 ， ∴bn=2n 解： cn=anbn=n2n ，记 S=c1+c2+⋯cn=121+222+…+n2n ， 则 2S=1+221+322+⋯+n2n−1 ， ∴S=2S−S=1+121+122+⋯+12n−1−n2n=2−n+22n<2

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