题目

如图，在平面直角坐标系xOy中， ， 分别是椭圆 的左，右焦点，点P是椭圆E上一点，满足 轴， ． （1） 求椭圆E的离心率； （2） 过点 的直线l与椭圆E交于两点A，B，若在椭圆B上存在点Q，使得四边形OAQB为平行四边形，求直线l的斜率． 答案： 解：由 PF1⊥x 轴，得 P(−c,±b2a) ，所以 PF1=b2a ． 因为 ∠PF2F1=30° ， F1F2=2c ，所以 2c=3⋅b2a ， 即 2ac=3(a2−c2) ，得 3e2+2e−3=0 ， 解得 e=33 或 e=−3 （舍），所以 e=33 解：因为 e=ca=33 ，所以 b2=a2−c2=23a2 ， 椭圆E方程可化为 2x2+3y2=2a2 ． 若直线l斜率不存在，直线 l:x=a ，与椭圆E只有一个交点，不成立． （法一）设直线l方程为 y=kx+m ， A(x1,y1) ， B(x2,y2) ，AB中点 D(x0,y0) ， 因为直线l过点 M(a,a) ，所以 m=a−ak ， 联立方程组 {y=kx+m2x2+3y2=2a2 ，得 (2+3k2)x2+6kmx+3m2−2a2=0 ． Δ=(6km)2−4(2+3k2)(3m2−2a2)>0 ，得 k>16 ． 由韦达定理， x1+x2=−6km2+3k2 ， x1x2=3m2−2a22+3k2 ， 得 x0=−3km2+3k2 ， y0=kx0+m=2m2+3k2 ，即点． 因为平行四边形OAQB，所以点 Q(−6km2+3k2,4m2+3k2) ， 因为点Q在椭圆上，所以 2⋅36k2m2(2+3k2)2+316m2(2+3k2)2=2a2 ， 化简得 12m2=(2+3k2)a2 ． 由 m=a−ak ，得 9k2−24k+10=0 ，解得 k=4±63 ． （法二）设直线l的方程为 y−a=k(x−a) ， A(x1,y1) ， B(x2,y2) ，AB中点 D(x0,y0) ， 由 {y=kx−a(k−1)2x2+3y2=2a2 ，得 (2+3k2)x2−6ak(k−1)x+3a2(k−1)2−2a2=0 ， Δ=[6ak(k−1)]2−4(2+3k2)[3a2(k−1)2−2a2]>0 ，得 k>16 ． 由韦达定理， x1+x2=6ak(k−1)2+3k2 ， x1x2=3a2(k−1)2−2a22+3k2 ， 得 x0=3ak(k−1)2+3k2 ， y0=2a(1−k)2+3k2 ，即点 D(3ak(k−1)2+3k2,2a(1−k)2+3k2) ． 因为平行四边形OAQB，所以点 Q(6ak(k−1)2+3k2,4a(1−k)2+3k2) ， 因为点Q在椭圆上，所以 2⋅36a2k2(k−1)2(2+3k2)2+3⋅16a2(1−k)2(2+3k2)2=2a2 ， 化简得 9k2−24k+10=0 ，解得 k=4±63

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