题目

已知椭圆 的离心率为 ，且经过点 . （1） 求椭圆 的方程. （2） 设 为椭圆 上非顶点的任意一点，若 ､ 分别为椭圆 的左顶点和上顶点，直线 交 轴于 ，直线 交 轴于 ， ，问： 的值是不是定值？若为定值，求之，若不为定值，说明理由. 答案： 解：设椭圆方程为 x2a2+y2b2=1 ， (a>b>0) ． e=32⇒ca=32⇒a=2b ， 设椭圆方程为 x24b2+y2b2=1 ， 又椭圆过点 M(1，32) ，所以 14b2+44b2=1 ，解得 b=1 ， 故椭圆方程为 x24+y2=1 . 解：设 D(0，m) ， C(n，0) ，由 A ､ D ､ P 共线可知 kAP=kAD⇒y0x0+2=m2⇒m=2y0x0+2 ， 由 B ､ P ､ C 共线可知 kBP=kBC⇒y0−1x0=−1n⇒n=x01−y0 . |AC|=|n+2|=|x01−y0+2|=|x0+2−2y01−y0| ， |BD|=|1−m|=|1−2y0x0+2|=|x0+2−2y0x0+2| . ∴ W=|AC||BD|=|(x0+2−2y0)(1−y0)(x0+2)| =|x02+4y02+4−4x0y0+4x0−8y0−x0y0+x0−2y0+2| ， 由于 x02+4y02=4 ， ∴ W=|−4x0y0+4x0−8y0+8−x0y0+x0−2y0+2|=4 .

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