题目

如图1，E是直线AB，CD内部一点，AB∥CD，连接EA，ED． （1） 探究猜想：①若∠A=35°，∠D=30°，则∠AED等于多少度？②若∠A=48°，∠D=32°，则∠AED等于多少度？③猜想图1中∠AED，∠EAB，∠EDC的关系并证明你的结论． （2） 拓展应用：如图2，射线EF与长方形ABCD的边AB交于点E，与边CD交于点F，①②③④分别是被射线FE隔开的4个区域（不含边界，其中区域③、④位于直线AB上方，P是位于以上四个区域上的点，猜想：∠PEB，∠PFC，∠EPF的关系（不要求写出证明过程） 答案： 解：①如图①，过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∵∠A=35°，∠D=30°，∴∠1=∠A=35°，∠2=∠D=30°，∴∠AED=∠1+∠2=65°；②过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∵∠A=48°，∠D=32°，∴∠1=∠A=48°，∠2=∠D=32°，∴∠AED=∠1+∠2=80°；③猜想：∠AED=∠EAB+∠EDC．理由：过点E作EF∥CD，∵AB∥DC∴EF∥AB（平行于同一条直线的两直线平行），∴∠1=∠EAB，∠2=∠EDC（两直线平行，内错角相等），∴∠AED=∠1+∠2=∠EAB+∠EDC（等量代换）． 解：根据题意得：点P在区域①时，∠EPF=360°﹣（∠PEB+∠PFC）；点P在区域②时，∠EPF=∠PEB+∠PFC；点P在区域③时，∠EPF=∠PEB﹣∠PFC；点P在区域④时，∠EPF=∠PFC﹣∠PEB．

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