题目

已知椭圆的中心在原点，一个长轴端点为 ，离心率 ，过P分别作斜率为 的直线PA，PB，交椭圆于点A，B。 （1） 求椭圆的方程； （2） 若 ，则直线AB是否经过某一定点？ 答案： 解：易得椭圆的方程 y24+x2=1 解：直线PA，PB的方程分别为 y=k1x−2,y=k2x−2. 由 {y=k1x−2y2+4x2=4  得 (k12+4)x2−4k1x=0 ，解得 x=0 或 x=4k1k12+4 ，于是 A(4k1k12+4,2k12−8k12+4) ，同理 B(4k2k22+4,2k22−8k22+4) 。 直线PA，PB的方程分别为 y=k1x−2,y=k2x−2. 由 {y=k1x−6y2+4x2=4  得 (k12+4)x2−4k1x=0 ，解得 x=0 或 x=4k1k12+4 ，于是 A(4k1k12+4,2k12−8k12+4) ，同理 B(4k2k22+4,2k22−8k22+4) 。由 k2=2k1 得 B(2k1k12+1,2−2k12k12+1) ， kAB=2(k12+2)k1     直线 AB ： y−2k12−8k12+4=2(k12+2)k1(x−4k1k12+4) ， 令 x=0 得 y=2k12−8k12+4−8(k12+2)k12+4=−6 ，则直线AB恒过点 (0,−6)

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