题目

如图，在 中，点 、 分别是半径 、弦 的中点，过点 作 于点 . （1） 求证： 是 的切线； （2） 若 ， ，求 的半径. 答案： 证明：连接 O A ，如图， ∵ 点 C 、 D 分别是半径 O B 、弦 A B 的中点， ∵ D C / / O A ，即 E C / / O A ， ∵ A E ⊥ C D ， ∴ A E ⊥ A O ， ∴ A E 是 ⊙ O 的切线 解：连接 O D ，如图， ∵ A D = B D ， ∴ O D ⊥ A B ， ∴ ∠ O D A = 90 ° ， 在 Rt Δ AED 中， sin ∠ A D E = A E A D = 2 3 ， ∴ A D = 3 ， ∵ C D / / O A ， ∴ ∠ O A D = ∠ A D E . 在 Rt Δ OAD 中， sin ∠ O A D = 2 3 ， 设 O D = 2 x ，则 O A = 3 x ， ∴ A D = ( 3 x ) 2 − ( 2 x ) 2 = 5 x ， 即 5 x = 3 ，解得 x = 3 5 5 ， ∴ O A = 3 x = 9 5 5 ， 即 ⊙ O 的半径长为 9 5 5 .

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