题目

根据以下素材，探索完成任务． 如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？ 素材1 图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽 20m ，拱顶离水面 5m ．据调查，该河段水位在此基础上再涨 1.8m 达到最高． 素材2 为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂 40cm 长的灯笼，如图3．为了安全，灯笼底部距离水面不小于 1m ；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为 1.6m ；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布． 问题解决 任务1 确定桥拱形状 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式． 任务2 探究悬挂范围 在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围． 任务3 拟定设计方案 给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标． 答案：解：【任务1】 以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系， 则顶点为 (0，0) ，且经过点 (10，−5) ． 设该抛物线函数表达式为 y=ax3(a≠0) ， 则 −5=100a ，∴ a=−120 ， ∴该抛物线的函数表达式是 y=−120x2 ． 【任务2】 ∵水位再上涨 1.8m 达到最高，灯笼底部距离水面至少 1m ，灯笼长 0.4m ， ∴悬挂点的纵坐标 y≥−5+1.8+1+0.4=−1.8 ， ∴悬挂点的纵坐标的最小值是 −1.8 ． 当 y=−1.8 时， −1.8=−120x2 ，解得 x1=6 或 x2=−6 ， ∴悬挂点的横坐标的取值范围是 −6≤x≤6 ． 【任务3】有两种设计方案． 方案一：如图2（坐标系的横轴，图3同），从顶点处开始悬挂灯笼． ∵ −6≤x≤6 ，相邻两灯笼悬挂点的水平间距均为 1.6m ， ∴若顶点一侧挂4盏灯笼，则 1.6×4>6 ， 若顶点一侧挂3盏灯笼，则 1.6×3<6 ， ∴顶点一侧最多可挂3盏灯笼． ∵挂满灯笼后成轴对称分布， ∴共可挂7盏灯笼． ∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是-4.8． 方案二：如图3，从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为 0.8m ， ∵若顶点一侧挂5盏灯笼，则 0.8+1.6×(5−1)>6 ， 若顶点一侧挂4盏灯笼，则 0.8+1.6×(4−1)<6 ， ∴顶点一侧最多可挂4盏灯笼． ∵挂满灯笼后成轴对称分布， ∴共可挂8盏灯笼． ∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是-5.6． 注：以下为几种常见建系方法所得出的任务答案． 方法 任务1 任务2 任务3 建立坐标系 函数表达式 最小值 取值范围 灯笼数量 横坐标 一 y=−120x2+x 3.2 4≤x≤16 7 5.2 8 4.4 二 y=−120x2+5 3.2 −6≤x≤6 7 -4.8 8 -5.6 三 y=−120x2−x 3.2 −16≤x≤−4 7 -14.8 8 -15.6

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