题目

在18×18的方格纸上的每个方格中均填入一个彼此不相的正整数.求证：无论哪种填法，至少有两对相邻小方格(有一条公共边的两个小方格称为一对相邻小方格)，使得每对相邻的两小方格中所填之数的差均不小于10. 答案：证明：设a、b分别为这324个正整数中的最小者和最大者.由这些数互不相等，所以b-a≥323.①当a和b所在的方格既不同行又不同列时，从a所在的方格出发，可以通过一系列向相邻小方格(上下或左右)的移动而达到b所在的方格.如图1所示.由于a和b既不同行又不同列，总存在两条完全不同的路线(两条路线途经的方格无一相同)，由a所在的方格达到b所在的方格.显然，无论是路线甲，还是路线乙，其相邻移动的次数均不超过17+17=34(次).若在路线甲上任何相邻两方格所填之数的差均小于或等于9，则 323≤b-a≤34×9=306，矛盾!因此路线甲上必有两个相邻小方格，其中所填之数的差均不小于10；路线乙也是如此.②当a和b所在的方格同行或同列时.与情况1类似，如图2所示.同样可以找到两条完全不同的。移动次数不太于34次的路线甲和路线乙.一条由与a、b同行(或同列)的方格组成.另一条由a、b及上或下一行(左或右一列)的方格组成.两条路线各存在一对相邻小方格，其中所填之数的差均不小于10.

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