题目

已知函数 ，(a，b∈R) （1） 当a=﹣1，b=0时，求曲线y=f(x)﹣g(x)在x=1处的切线方程； （2） 当b=0时，若对任意的x∈[1，2]，f(x)+g(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围； （3） 当a=0，b>0时，若方程f(x)=g(x)有两个不同的实数解x1 ， x2(x1<x2)，求证：x1+x2>2. 答案： 解：当 a=−1 时， b=0 时， y=lnx+1x2+1 ， ∴ 当 x=1 时， y=2 ， ∴y′=1x−2x3 ， ∴ 当 x=1 时， y′=−1 ， ∴ 曲线 y=f(x)−g(x) 在 x=1 处的切线方程为 x+y−3=0 ； 解：当 b=0 时，对 ∀x∈[1 ， 2] ， f(x)+g(x)⩾0 都成立， 则对 ∀x∈[1 ， 2] ， a⩾−x2lnx+x2 恒成立， 令 h(x)=−x2lnx+x2(1⩽x⩽2) ，则 h′(x)=−2xlnx+x ． 令 h′(x)=0 ，则 x=e ， ∴ 当 1<x<e ， h′(x)>0 ，此时 h(x) 单调递增； 当 e<x<2 时， h′(x)<0 ，此时 h(x) 单调递减， ∴ h(x)max=h(e)=e2 ， ∴a⩾e2 ， ∴a 的取值范围为 [e2,+∞) ； 解：当 a=0 ， b>0 时，由 f(x)=g(x) ，得 lnx−bx+1=0 ， 方程 f(x)=g(x) 有两个不同的实数解 x1 ， x2(x1<x2) ， 令 F(x)=lnx−bx+1(x>0) ，则 F(x1)=F(x2)=0 ， F′(x)=1x−b ， 令 F′(x)=0 ，则 x=1b ， ∴ 当 0<x<1b 时， F′(x)>0 ，此时 F(x) 单调递增；当 x>1b 时， F′(x)<0 ，此时 F(x) 单调递减， ∴ F(x)max=F(1b)>0 ， ∴0<b<1 ， 又 F(1e)=−be<0 ， F （1） =1−b>0 ， ∴ 1e<x1<1<1b ， ∴ 2b−x1>1b ， ∴ 只要证明 x2>2b−x1 ，就能得到 x1+x2>2b>2 ，即只要证明 F(2b−x1)>0=F(x1) ， 令 G(x)=F(2b−x)−F(x)=ln(2b−x)−lnx+2bx−2(0<x⩽1b) ， 则 G′(x)=2b(x−1b)2x(x−2b)<0 ， ∴G(x) 在 (0,1b) 上单调递减，则 G(x)>G(1b)=F(2b−1b)−F(1b)=0 ， ∴ G(x1)=F(2b−x1)−F(x1)>0 ， ∴ F(2b−x1)>F(x1)=0=F(x2) ， ∴ x2>2b−x1 ， ∴ x1+x2>2b>2 ， 即 x1+x2>2 ，证毕．

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