题目

已知正方形 ，若一个等边三角形的三个顶点均在正方形 的内部或边上，则称这个等边三角形为正方形 的内等边三角形． （1） 若正方形 的边长为10，点 在边 上． ①当点 为边 的中点时，求作：正方形 的内等边 （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； ②若 是正方形 的内等边三角形，连接 ，则线段 长的最小值是，线段 长的取值范围是； （2） 和 都是正方形 的内等边三角形，当边 的长最大时，画出 和 ， 点 按逆时针方向排序，连接 ．找出图中与线段 相等的所有线段（不添加字母），并给予证明． 答案： 【1】【2】5【3】5 3 ≤DF≤10 ΔADP 和 ΔAMN 如图所示： ∵ ΔAMN 是等边三角形， ∴AM＝AN＝MN，∠MAN＝60°， ∵边AM的长最大， ∴点M在DC上，点N在BC上， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB＝CD＝BC，∠B＝∠C＝∠ADC＝∠DAB＝90°， ∴Rt△ADM≌Rt△ABN（HL）， ∴BN=DM， ∵ ΔADP 和 ΔAMN 是等边三角形， ∴AD=AP，AM=AN，∠DAP=∠MAN=60°， ∴∠DAM=∠PAN， ∴△ADM≌△APN（SAS）， ∴DM=PN， ∴NP=DM=BN，即：与线段 NP 相等的线段有BN，DM．

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