题目

在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ( 为参数)，曲线 的直角坐标方程为 .以平面直角坐标系的原点 为极点， 轴非负半轴为极轴建立直角坐标系，射线 的极坐标方程为 ． （1） 求曲线 ， 的极坐标方程； （2） 设点 分别为射线 与曲线 ， 上除原点之外的交点，求 的最大值. 答案： 解：由曲线 C1 的参数方程 {x=costy=1+sint  （ t 为参数）消去参数 t 得 x2+(y−1)2=1 ，即 x2+y2−2y=0 ， ∴曲线 C1 的极坐标方程为 ρ=2sinθ . 由曲线 C2 的直角坐标方程 x2+(y−2)2=4 ， x2+y2−4y=0 ， ∴曲线 C2 的极坐标方程 ρ=4sinθ 解：联立 {θ=αρ=2sinθ  ，得 A(2sinα，α) ∴ |OA|=2sinα 联立 {θ=αρ=4sinθ  ，得 B(4sinα，α) ∴ |OB|=4sinα . ∴ |AB|=|OB|−|OA|=2sinα . ∵ 0<α<π ，∴当 α=π2 时， |AB| 有最大值2

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