题目

如图，已知矩形OABC中，OA=2，AB=4，双曲线 （k＞0）与矩形两边AB、BC分别交于E、F． （1） 若E是AB的中点，求F点的坐标； （2） 若将△BEF沿直线EF对折，B点落在x轴上的D点，作EG⊥OC，垂足为G，证明△EGD∽△DCF，并求k的值． 答案： 解：∵点E是AB的中点，OA=2，AB=4，∴点E的坐标为（2，2）。 将点E的坐标代入 y=kx ，可得k=4。 ∴反比例函数解析式为： y=4x 。 ∵点F的横坐标为4，∴点F的纵坐标 44=1 。 ∴点F的坐标为（4，1）。 解：结合图形可设点E坐标为（ k2 ，2），点F坐标为（4， k4 ）， 则CF= k4 ，BF=DF=2﹣ k4 ，ED=BE=AB﹣AE=4﹣ k2 ， 在Rt△CDF中， CD=DF2−CF2=(2−k4)2−(k4)2=4−k 。 由折叠的性质可得：BE=DE，BF=DF，∠B=∠EDF=90°， ∵∠CDF+∠EDG=90°，∠GED+∠EDG=90°，∴∠CDF=∠GED。 又∵∠EGD=∠DCF=90°，∴△EGD∽△DCF。 ∴ CDGE=DFED ，即 4−k2=2−k44−k2 。 ∴ 4−k =1，解得：k=3。

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