题目

在平面直角坐标系中， ， ， ， 四点在同一个圆 上． Ⅰ 求实数 的值； Ⅱ 若点 在圆 上，求 的取值范围． 答案：解：（Ⅰ）设过 A、B、C 的圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0 ． 将点 A、B、C 的坐标分别代入圆的方程， 得 {1+4−D+2E+F=04+1+2D+E+F=09+16+3D+4E+F=0 ， 解得： D=−2 ， E=−6 ， F=5 ， 得圆的方程为 x2+y2−2x−6y+5=0 ． 将点 D 的坐标代入上述所得圆的方程， 得 a2−6a+5=0 ，解得 a=1 或 5 ； （Ⅱ）点 P(x,y) 在圆 E ： (x−1)2+(y−3)2=5 上， x2+2x+y2=(x+1)2+y2−1 ， 其几何意义为圆 E 上的点到 M(−1,0) 距离的平方减 1 ． 如图： |EM|=22+32=13 ， ∴x2+2x+y2 的最小值为 (13−5)2−1=17−265 ； x2+2x+y2 的最大值为 (13+5)2−1=17+265 ． ∴x2+2x+y2 的取值范围是 [17−265,17+265].

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