题目

已知定义在R上的函数 在 上是增函数． 为偶函数，且当 时， ． （1） 求 在 上的解析式； （2） 若函数 与 的值域相同，求实数m的值； （3） 令 讨论关于x的方程 的实数根的个数． 答案： 解：当 x>0 时，则 −x<0 ，而 g(x) 为偶函数，有 g(x)=g(−x)=12−x+m=2x−m ． 解：∵函数 f(x)=x2−2mx+3 在 (0,+∞) 上单调递增， ∴ m≤0 ，且 f(x) 的值域为 [3−m2,+∞) ． 当 x∈(−∞,0] 时， g(x)≥2−m ，由 g(x) 是偶函数， ∴ g(x) 的值域为 [2−m,+∞) ． 由题意知： 3−m2=2−m ．令 h(m)=3−m2−2−m ，易知 h(m) 在 (−∞,0] 上单调递增，且 h(−1)=0 ； ∴ m=−1 解：由（2）有 m≤0 ，令 φ(x)=F(x)−m−3={x2−2mx−m,x<02x−m−m−3,x>0 ， ①当 m=0 时， φ(x)={x2,x<02x−3,x>0 ，此时仅有一个零点 x=log23 ． ②当 m=−1 时， φ(x)={x2+2x+1,x<02x+1−2,x>0 ，此时仅有一个零点 x=−1 ． ③当 −1<m<0 时，在 x<0 中 Δ=4m(m+1)<0 ，故无零点；在 x>0 中 φ(x) 单调增，而 φ(0)=12m−m−3<0 ， φ(2)=22−m−m−3>0 ， ∴故此时 ∃x0∈(0,2) ，使 φ(x0)=0 ，即仅有一个 x0 有 2x0−m=m+3 ， x0=m+log2(m+3) ． ④当 m<−1 时，在 x<0 中 Δ=4m(m+1)>0 ，零点有 x=m±m(m+1)<0 ，故有两个零点；在 x>0 中 φ(x) 单调增，而 φ(0)=2−m−m−3>0 ，即无零点； 综上所述，当 m<−1 时，方程 F(x)=m+3 有两个实数根；当 −1≤m≤0 时，方程 F(x)=m+3 仅一个实数根．

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