题目

对于任意的n∈N* ， 记集合En={1，2，3，…，n}，Pn= ． 若集合A满足下列条件：①A⊆Pn；②∀x1 ， x2∈A，且x1≠x2 ， 不存在k∈N* ， 使x1+x2=k2 ， 则称A具有性质Ω．如当n=2时，E2={1，2}，P2= ． ∀x1 ， x2∈P2 ， 且x1≠x2 ， 不存在k∈N* ， 使x1+x2=k2 ， 所以P2具有性质Ω．（Ⅰ）写出集合P3 ， P5中的元素个数，并判断P3是否具有性质Ω．（Ⅱ）证明：不存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使E15=A∪B． 答案：解：（Ⅰ）∵对于任意的n∈N*，记集合En={1，2，3，…，n}，Pn=x|x=ab,a∈En,b∈En．∴集合P3，P5中的元素个数分别为9，23，∵集合A满足下列条件：①A⊆Pn；②∀x1，x2∈A，且x1≠x2，不存在k∈N*，使x1+x2=k2，则称A具有性质Ω，∴P3不具有性质Ω．证明：（Ⅱ）假设存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使E15=A∪B．其中E15={1，2，3，…，15}．因为1∈E15，所以1∈A∪B，不妨设1∈A．因为1+3=22，所以3∉A，3∈B．同理6∈A，10∈B，15∈A．因为1+15=42，这与A具有性质Ω矛盾．所以假设不成立，即不存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使E15=A∪B．

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