题目

已知函数 和函数 . （1） 求函数 的单调区间； （2） 若 ， ，且函数 有三个零点 、 、 ，求 的取值范围. 答案： 解：显然 x>2 时， f(x) 单增. 当 x≤2 时， f′(x)=3x2−6x+2 令 f′(x)=0 得： x=1±33∈(−∞,2] . 且 x<1−33 或 x>1+33 时， f′(x)>0 ； 1−33<x<1+33 时， f′(x)<0 . 故：函数 f(x) 的单调增区间为 (−∞,1−33](1+33,+∞) ； 单调减区间为 (1−33,1+33) . 解：当 x>2 时，令 f(x)−g(x)=0 得： x=3 当 x≤2 时，令 f(x)−g(x)=0 即： x(x−1)(x−2)+1=k(x−1)+1 即： (x−1)(x2−2x−k)=0(x≤2) 得： x=1 ， x=1±k+1 （舍去 1+k+1 ） 所以 f(x1)+f(x2)+f(x3) =g(x1)+g(x2)+g(x3)   =−kk+1+2k+3(0<k<1) . 令 t=k+1 ， t∈(1,2) 即求函数 h(t)=−t3+2t2+t+1 ， t∈(1,2) 的值域 因为 h′(t)=−3t2+4t+1 ，显然 h′(1)=2>0 ， h′(2)=42−5>0 所以 h′(t)>0 在 (1,2) 上恒成立. 即 h(t) 在 (1,2) 上单增 所以 h(t)∈(h(1),h(2))=(3,5−2) . 即 f(x1)+f(x2)+f(x3) 的取值范围为 (3,5−2)

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