题目

如图，在三棱锥 中，侧面 是边长为2的等边三角形， ， 分别为 ， 的中点，过 的平面与侧面 交于 . （1） 求证： ； （2） 若平面 平面 ， ，求直线 与平面 所成角的正弦值. 答案： 证明：因为 M ， N 分别为 AB ， AP 的中点，所以 MN//PB ， 又 MN⊄ 平面 PBC ， PB⊂ 平面 PBC ，所以 MN// 平面 PBC ， 因为平面 MNEF∩ 平面 PBC=EF ， 所以 MN//EF 解：因为平面 PBC⊥ 平面 ABC ，取 BC 中点 O ， 连接 PO ， AO ，因为 △PBC 是等边三角形，所以 PO⊥BC ， 所以 PO⊥ 平面 ABC ，故 PO⊥AO ，又因为 AB=AC ， 所以 AO⊥BC ，以 O 为坐标原点，分别以 OB ， AO ， OP 为 x ， y ， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 可得 O(0,0,0) ， P(0,0,3) ， A(0,−22,0) ， B(1,0,0) ， C(−1,0,0) ， 所以 PB→=(1,0,−3) ， PA→=(0,−22,−3) ， PC→=(−1,0,−3) ， 设平面 PAC 的法向量为 n→=(x,y,z) ，则 {−22y−3z=0−x−3z=0 ， 令 y=2 ，得 x=4 ， z=−433 ，所以 n→=(4,2,−433) ， cos〈PB→,n→〉=4+42×2103=221035 ， 所以直线 PB 与平面 PAC 所成角的正弦值为 221035

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