题目

如图，已知抛物线 的图象的顶点坐标是 ，并且经过点 ，直线 与抛物线交于 ， 两点，以 为直径作圆，圆心为点 ，圆 与直线 交于对称轴右侧的点 ，直线 上每一点的纵坐标都等于1. （1） 求抛物线的解析式； （2） 证明：圆 与 轴相切； （3） 过点 作 ，垂足为 ，再过点 作 ，垂足为 ，求 的值.（或者求 的值） 答案： 解：∵已知抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象的顶点坐标是 (2,1) ， ∴可设抛物线解析式为 y=a(x−2)2+1 ， ∵抛物线经过点 (4,2) ，∴ 2=a(4−2)2+1 ，解得 a=14 ， ∴抛物线解析式为 y=14(x−2)2+1 ，即 y=14x2−x+2 . 证明：联立直线和抛物线解析式可得 {y=14x2−x+2y=12x+1 ， 解得： {x=3−5y=52−52 或 {x=3+5y=52+52 ， ∴ B(3−5,52−52) ， D(3+5,52+52) ， ∵ C 为 BD 的中点，∴点 C 的纵坐标为 52−52+52+522=52 ， ∵ BD=[(3−5)−(3+5)]2+[(52−52)−(52+52)]2=5 ， ∴圆的半径为 52 ，∴点 C 到 x 轴的距离等于圆的半径， ∴圆 C 与 x 轴相切. 解：如图，过点 C 作 CH⊥m ，垂足为 H ，连接 CM ， 由（2）知 CH=52−1=32 ， 在 Rt△CMH 中，由勾股定理求得 MH=CM2−CH2=(52)2−(32)2=2 ， ∵ HF=3+5−(3−5)2=5 ，∴ MF=HF−MH=5−2 . BE= (52−52)−1=32−52 ∴ BEMF=32−525−2=5+12

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