题目

已知点 在椭圆 上，椭圆的右焦点 ，直线 过椭圆的右顶点 ，与椭圆交于另一点 ，与 轴交于点 . （1） 求椭圆 的方程； （2） 若 为弦 的中点，是否存在定点 ，使得 恒成立？若存在，求出 点的坐标，若不存在，请说明理由； （3） 若 ，交椭圆 于点 ，求 的范围. 答案： 解：设椭圆过的定点为 N(−5,43) ,且左焦点为 F1 因为椭圆的右焦点 F2(5,0) 则 c=5 所以 F1(−5,0) 由椭圆定义 |NF1|+|NF2| =(43)2+(25)2+(43)2 =6=2a 所以 a=3, 由椭圆中 a、b、c 的关系可知 b2=a2−c2=9−5=4 ∴椭圆的标准方程： x29+y24=1 解：由题意可知,直线 l 的斜率存在且不为0, 直线 l 过椭圆的右顶点 A(3,0) ,交另外一点于D.设直线 l 的方程 y=k(x−3) , D(xD,yD) 联立方程可得 {y=k(x−3)x29+y24=1 , 消去 y 整理得： (9k2+4)x2−54k2x+81k2−36=0 , 则由韦达定理可知 3xD=81k2−369k2+4 , 则 xD=27k2−129k2+4 ,代入直线方程可得 yD=k(xD−3)=−24k9k2+4 , ∴ D(27k2−129k2+4,−24k9k2+4) , 由 P 为弦 AD 的中点,根据中点坐标公式可得 P(27k29k2+4,−12k9k2+4) , ∴直线 OP 的斜率 kOP=−49k , 对于直线 l 的方程 y=k(x−3) ,令 x=0 ,则 E(0,−3k) , 假设存在定点 Q(m,n) , m≠0 ,满足 OP⊥EQ , 直线 EQ 的斜率 kEQ=n+3km , ∴ kOP⋅kEQ=−49k⋅n+3km=−1 ,整理得 4n+12k−9km=0 , 由 4n+(12−9m)k=0 恒成立,则 {12−9m=04n=0 ,解得 {m=43n=0 则定点 Q 的坐标为 (43,0) ； 解：由 OM//l ,则直线 OM 的方程 y=kx ,设 M(xM,yM) , 由 {x29+y24=1y=kx ,解得 xM=±69k2+4 , ∵ |AD|+3|AE||OM|=|xD−3|+3|xE−3||xM|=12−27k2−129k2+469k2+4 =27k2+2029k2+4=32(9k2+4+839k2+4) 令 9k2+4=t ,（直线 l 的斜率存在且不为0,∴ t>2 ） ∵函数 f(t)=32(t+83t) 在 (2,+∞) 单调递增, ∴ |AD|+3|AE||OM| 的取值范围是 (5,+∞) .

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