题目

已知函数 是偶函数（其中 为自然对数的底数， …）． （1） 求 的值； （2） 若方程 在区间 上有实数根，求实数 的取值范围． 答案： 解： ∵f(x) 是偶函数， ∴f(x)−f(−x)=ln(ex+1)+kx−ln(e−x+1)−(−kx) =lnex+1e−x+1+2kx=lnex+11+exex+2kx =lnex+2kx=(2k+1)x=0 恒成立， ∴2k+1=0 ，解得 k=−12 ； 解：由（1）知 f(x)=ln(ex+1)−12x ， 由 f(x)=12x+b 得 b=ln(ex+1)−x，x∈[−1，0] ， 令 g(x)=ln(ex+1)−x=ln(1+1ex)，x∈[−1，0] ， 当 x∈[−1，0] 时， 1+1ex∈[2，1+e] ，则 ln(1+1ex)∈[ln2，ln(1+e)] ， 故 b∈[ln2，ln(1+e)] 时，方程 f(x)=12x+b 在区间 [−1，0] 上有实数根， 故 b 的取值范围为 [ln2，ln(1+e)] .

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