题目

已知函数 图象过点 ． （1） 求实数 的值，并证明函数 是奇函数； （2） 利用单调性定义证明 在区间 上是增函数． 答案： f(x)=x+mx 的图象过点 P(1,5) ， ∴ 5=1+m ，∴ m=4 . ∴ f(x)=x+4x ， f(x) 的定义域为 {x|x≠0} ，关于原点对称， f(x)=x+4x ，又 f(−x)=x−4x ，∴ f(x)=−f(x) ， f(x) 是奇函数． 证明：设任意 x2>x1≥2 ， 则 f(x2)−f(x1)=x2−x1+4x2−4x1=(x2−x1)(1−4x1x2)=(x2−x1)x1x2−4x1x2 又 x2−x1>0 ， x1≥2 ， x2>2 ，∴ x1x2>4 ∴ f(x2)−f(x1)>0 ， ∴ f(x2)>f(x1) ， 即 f(x) 在区间 [2,+∞) 上是增函数

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