题目

已知函数（）.（Ⅰ）若函数 ， 讨论的单调性；（Ⅱ）若函数的导数的两个零点从小到大依次为 ， ， 证明：. 答案：解：（Ⅰ）∵h(x)=−alnx−x+(a+x)22∴h′(x)=(x−1)(x+a)x（x>0）.当a≥0时，h′(x)>0⇒x>1，h′(x)<0⇒0<x<1∴h(x)在(1，+∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减；当−1<a<0时，h′(x)>0⇒x>1或0<x<−a，h′(x)<0⇒−a<x<1∴h(x)在(1，+∞)，(0，−a)上单调递增，在(−a，1)上单调递减；当a<−1时，h′(x)>0⇒x>−a或0<x<1，h′(x)<0⇒1<x<−a∴h(x)在(−a，+∞)，(0，1)上单调递增，在(1，−a)上单调递减；当a=−1时，h′(x)≥0在(0，+∞)上恒成立，所以h(x)在(0，+∞)上单调递增；综上所述：当a≥0时，h(x)在(1，+∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减；当−1<a<0时，h(x)在(1，+∞)，(0，−a)上单调递增，在(−a，1)上单调递减；当a<−1时，h(x)在(−a，+∞)，(0，1)上单调递增，在(1，−a)上单调递减；当a=−1时，h(x)在(0，+∞)上单调递增.（Ⅱ）∵f′(x)=x2+ax+1x（x>0）.且f′(x)的两个零点从小到大依次为x1，x2∴x1，x2是方程x2+ax+1=0的两个根，∴{x1+x2=−ax1x2=1又x1>0，x2>0且x1<x2所以0<x1<1<x2欲证f(x2)<x1+x22，即证(x2+a)22+lnx2<x1+x22只需证x122+ln1x1<x1+1x12令g(x)=x22−lnx−x2−12x（0<x<1），g′(x)=(x2−1)(2x−1)2x2∴g(x)在(0，12)上单调递增，(12，1)上单调递减，∴g(x)≤g(12)<0，即f(x2)<x1+x22成立.

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