题目

已知 ， 且 ． （1） 求 的最大值及此时a，b的值； （2） 求 的最小值及此时a，b的值． 答案： ∵1a+1b=33a+33b=a+b3a+a+b3b=23+b3a+a3b⩾23+2b3a·a3b=43 ， 当且仅当 b3a=a3b 且 a+b=3 ，即 a=b=32 时取等号， ∴log32(1a+1b)⩽log3243=−2 即最大值为 −2 ， ∵a+b=3 ， ∴ a2+3a+b2b+1=a+3a+(b−1+1b+1)=a+b−1+3a+1b+1=2+3a+1b+1 =2+(3a+1b+1)(a4+b+14)=3+3(b+1)4a+a4(b+1)⩾3+23(b+1)4a·a4(b+1)=3+32 ， 当且仅当 3(b+1)4a=a4(b+1) 且 a+b=3 ，即 a=6−23 ， b=−3+23 时取等号，

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