题目

如图，抛物线经过，，三点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点，使的值最小，求点的坐标；（3）点为轴上一动点，在抛物线上是否存在一点，使以，，，四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．答案：设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c(a≠0) ， ∵ A(−1,0) ， B(3,0) ， C(0,32) 三点在抛物线上， ∴ {a−b+c=09a+3b+c=0c=32 ，解得， {a=−12b=1c=32 ， ∴抛物线的解析式为： y=−12x2+x+32 ； ∵抛物线的解析式为 y=−12x2+x+32 ， ∴其对称轴为直线： x=−b2a=1 ，如图1所示，连接 BC ，设直线 BC 的解析式为 y=kx+b(k≠0) ， ∵ B(3,0) ， C(0,32) ， ∴ {3k+b=0b=32 ，解得， {k=−12b=32 ， ∴直线 BC 的解析式为 y=−12x+32 ，当 x=1 时， y=−12+32=1 ， ∴ P(1,1) ；存在，如图2所示， ①当点 N 在 x 轴上方时， ∵抛物线的对称轴为直线 x=1 ， C(0,32) ， ∴ N1(2,32) ； ②当点 N 在 x 轴下方时，过点 N2 作 N2D⊥x 轴于点 D ， ∴ △AN2D≅△M2CO ， ∴ N2D=OC=32 ，即 N2 点的纵坐标为 −32 ， ∴ −12x2+x+32=−32 ，解得， x=1+7 或 x=1−7 ， ∴ N2(1+7,−32) ， N3(1−7,−32) ，综上所述，点 N 的坐标为 (2,32) ， (1+7,−32) ， (1−7,−32) ．

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