题目

已知函数 . （1） 讨论函数 的单调性； （2） 当 时，若曲线 与曲线 存在唯一的公切线，求实数 的值； （3） 当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围. 答案： 解： f′(x)=aex−1 ， 当 a≤0 时， f'(x)<0 恒成立， f(x) 在 (−∞，+∞) 上单调递减， 当 a>0 时，由 f'(x)=0 ，解得 x=−lna ， 由于 a>0 时，导函数 f′(x)=aex−1 单调递增， 故 x∈(−∞，−lna)  ， f′(x)<0，f(x) 单调递减， x∈(−lna，+∞)，f′(x)>0，f(x) 单调递增. 综上，当 a≤0 时 f(x) 在 (−∞，+∞) 上单调递减； 当 a>0 时， f(x) 在 (−∞，−lna) 上单调递减，在 (−lna，+∞) 上单调递增. 曲线 C1：y1=aex 与曲线 C2：y2=x2 存在唯一公切线，设该公切线与 C1，C2 分别切于点 (x1，aex1)，(x2，x22) ，显然 x1≠x2 . 由于 y'1=aex，y'2=2x ， 所以 aex1=2x2=aex1−x22x1−x2 ， 2x2x1−2x22=aex1−x22=2x2−x22  ， ∴2x1x2−x22=2x2   由于 a>0 ，故 x2>0 ，且 x2=2x1−2>0 因此 x1>1 ， 此时 a=2x2ex1=4(x1−1 )ex1(x1>1) ， 设 F(x)=4(x−1 )ex(x>1) 问题等价于直线 y=a 与曲线 y=F(x) 在 x>1 时有且只有一个公共点， 又 F′(x)=4(2−x )ex ，令 F'(x)=0 ，解得 x=2 ， 则 F(x) 在 (1，2) 上单调递增， (2，+∞) 上单调递减， 而 F(2)=4e2，F(1)=0 ，当 x→+∞ 时， F(x)→0 所以 F(x) 的值域为 (0，4e2] . 故 a=4e2 . 当 a=1 时， f(x)=ex−x−1 ，问题等价于不等式 ex−x−1≥kxln(x+1) ，当 x≥0 时恒成立. 设 h(x)=ex−x−1−kxln(x+1)(x≥0) ， h(0)=0 ， 又设 m(x)=h'(x)=ex−1 −k[ln(x+1)+x1+x]( x≥0) 则 m'(x)=ex−k[11+x+1(1+x)2] 而 m'(0)=1−2k . (i)当 1−2k≥0 时，即 k≤12 时， 由于 x≥0，ex≥1 ， k[11+x+1(1+x)2]≤12[11+x+1(1+x)2]≤1 此时 m'(x)≥0，m(x) 在 [0，+∞) 上单调递增. 所以 m(x)≥m(0)=0 即 h'(x)≥0 ，所以 h(x) 在 [0，+∞) 上单调递增 所以 h(x)≥h(0)=0 ， 即 ex−x−1−kxln(x+1)≥0 ， 故 k≤12 适合题意. (ii)当 k>12 时， m'(0)<0 ， 由于 m′(x)=ex−k[11+x+1(1+x)2] 在 [0，+∞) 上单调递增， 令 x=ln(2k)>0 ， 则 m'(ln2k)=2k−k[11+ln2x+1(1+ln2x)2]>2k−2k=0 ， 故在 (0，ln2k) 上存在唯一 xo ，使 m'(xo)=0 ， 因此当 x∈(0，x0) 时， m'(x)<0，m(x) 单调递减， 所以 m(x)<m(0)=0 ， 即 h'(x)≤0，h(x) 在 (0，x0) 上单调递减， 故 h(x)<h(0)=0 ， 亦即 ex−x−1 −hxln(x+1)<0 ， 故 k>12 时不适合题意， 综上，所求 k 的取值范围为 (−∞，12] .

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