题目

如图，已知抛物线的顶点为A（1，4）、抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C、D两点．点P是x轴上的一个动点．（1）求此抛物线的解析式．（2）当PA+PB的值最小时，求点P的坐标．（3）求四边形ABOD的面积．答案：解：∵抛物线的顶点为A（1，4）， ∴设抛物线的解析式 y=a(x−1)2+4 ，把点B（0，3）代入得， a+4=3 ，解得 a=−1 ， ∴抛物线的解析式为 y=−(x−1)2+4 ；解：如图，作点B关于x轴的对称点B′的坐标为（0，﹣3），连接AB′与x轴的交点即为点P，设直线AB′的解析式为 y=kx+b(k≠0) ， {4=k+b−3=b ，解得 {k=7b=−3 ， ∴直线AB′的解析式为 y=7x−3 ，令 y=0 ，则 7x−3=0 ，解得 x=37 ， ∵轴对称， ∴ BP=B′P ， ∴ PA+PB=PA+PB′=AB′ ，即此时 PA+PB 取最小值， ∴当PA+PB的值最小时的点P的坐标为（ 37 ，0）；解：如图，连接AO、AB、AD，当 y=0 时， −(x−1)2+4=0 ，解得 x1=3 ， x2=−1 ∴抛物线与x轴的交点坐标为D（3，0），C（﹣1，0）， ∴ SABOD=S△ABO+S△ADO=12×3×1+12×3×4=7.5 ．

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