题目

已知函数 ， . （1） 当时，求函数的单调区间； （2） 若关于x的不等式恒成立，求整数a的最小值； （3） 是否存在一条直线与函数的图象相切于两个不同的点？并说明理由. 答案： 解：当a=3时，函数f(x)=2lnx−3x的定义域为(0，+∞)， 则f'(x)=2x−3，令f'(x)=0，得x=23， 由f'(x)>0，得0<x<23；由f'(x)<0，得x>23， 所以f(x)的单调递增区间为(0，23)；单调递减区间为(23，+∞) 解：由f(x)≤ax2+(a−2)x−2，得ax2+2(a−1)x−2lnx−2≥0， 令g(x)=ax2+2(a−1)x−2lnx−2，g'(x)=2ax+2(a−1)−2x=2(ax−1)(x+1)x， ①当a≤0时，g'(x)<0，所以g(x)在区间(0，+∞)单调递减， 因为g(1)=3a−4<0，所以g(x)≥0恒成立矛盾， ②当a>0时，由g'(x)>0，得x>1a；由g'(x)<0，得0<x<1a， 所以g(x)的单调递增区间为(1a，+∞)；单调递减区间为(0，1a)， 所以g(x)≥g(1a)=2lna−1a≥0， 令h(a)=2lna−1a， 因为函数y=2lna和函数y=−1a在区间(0，+∞)单调递增， 所以函数h(a)在区间(0，+∞)单调递增，h(1)=−1<0，h(2)=2ln2−12>0， 综上，使不等式f(x)≤ax2+(a−2)x−2恒成立的整数a的最小值为2； 解：令F(x)=f(x)+12x2=2lnx+12x2−ax， 假设存在一条直线与函数F(x)的图象有两个不同的切点T1(x1，y1)，T2(x2，y2)， 不妨0<x1<x2，则T1处切线l1的方程为：y=F(x1)(x−x1)+F(x1)， T2处切线l2的方程为：y=F(x2)(x−x2)+F(x2)， 因为l1，l2为同一直线， 所以{F(x1)=F(x2)F(x1)−x1F(x1)=F(x2)−x2F(x2)， 即{2x1+x1−a=2x2+x2−a2lnx1+x122−ax1−x1(2x1+x1−a)=2lnx2+x222−ax2−x2(2x2+x2−a)， 整理得，{x1x2=22lnx1−x122=2lnx2−x222，消去x2得，2lnx122+2x12−x122=0，① 令t=x122，由0<x1<x2与x1x2=2，得t∈(0，1)， 记φ(t)=2lnt+1t−t，则φ'(t)=2t−1t2−1=−(t−1)2t2<0， 所以φ(t)为(0，1)上的单调减函数，所以φ(t)>φ(1)=0， 从而①式不可能成立，所以假设不成立，从而不存在一条直线与函数F(x)的图象有两个不同的切点.

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