题目

如图1，已知平行四边形ABCD顶点A的坐标为（2，6），点B在y轴上，且AD∥ BC∥  x轴，过B，C，D三点的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（2，2），点F（m，6）是线段AD上一动点，直线OF交BC于点E． （1） 求抛物线的表达式； （2） 设四边形ABEF的面积为S，请求出S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围； （3） 如图2，过点F作FM⊥x轴，垂足为M，交直线AC于P，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，连接MN，直线AC分别交x轴，y轴于点H，G，试求线段MN的最小值，并直接写出此时m的值． 答案： 解：∵过B，C，D三点的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（2，2）， ∴点C的横坐标为4，BC=4， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD=BC=4， ∵A（2，6）， ∴D（6，6）， 设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+2， ∵点D在此抛物线上， ∴6=a（6﹣2）2+2， ∴a= 14 ， ∴抛物线解析式为y= 14 （x﹣2）2+2= 14 x2﹣x+3 解：∵AD∥BC∥x轴，且AD，BC间的距离为3，BC，x轴的距离也为3，F（m，6） ∴E（ m2 ，3）， ∴BE= m2 ， ∴S= 12 （AF+BE）×3= 12 （m﹣2+ m2 ）×3= 94 m﹣3 ∵点F（m，6）是线段AD上， ∴2≤m≤6， 即：S= 94 m﹣3 ．（2≤m≤6） 解：∵抛物线解析式为y= 14 x2﹣x+3， ∴B（0，3），C（4，3）， ∵A（2，6）， ∴直线AC解析式为y=﹣ 32 x+9， ∵FM⊥x轴，垂足为M，交直线AC于P ∴P（m，﹣ 32 m+9），（2≤m≤6） ∴PN=m，PM=﹣ 32 m+9， ∵FM⊥x轴，垂足为M，交直线AC于P，过点P作PN⊥y轴， ∴∠MPN=90°， ∴MN= PN2+PM2 = m2+(−32m+9)2 = 134(m−5413)2+32413 ∵2≤m≤6， ∴当m= 5413 时，MN最大= 32413 = 181313

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