题目

如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，AE⊥DC，垂足为E，F是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE． （1） 求证：DE是⊙O的切线； （2） 若AE=6，∠D=30°，求图中阴影部分的面积． 答案： 证明：连接OC， ∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵AC平分∠BAE，∴∠OAC=∠CAE，∴∠OCA=∠CAE，∴OC∥AE，∴∠OCD=∠E，∵AE⊥DE，∴∠E=90°，∴∠OCD=90°，∴OC⊥CD，∵点C在圆O上，OC为圆O的半径，∴CD是圆O的切线 解：在Rt△AED中， ∵∠D=30°，AE=6，∴AD=2AE=12，在Rt△OCD中，∵∠D=30°，∴DO=2OC=DB+OB=DB+OC，∴DB=OB=OC= 13 AD=4，DO=8，∴CD= DO2−OC2 = 82−42 =4 3 ，∴S△OCD= CD⋅OC2 = 43×42 =8 3 ，∵∠D=30°，∠OCD=90°，∴∠DOC=60°，∴S扇形OBC= 16 ×π×OC2= 83π ，∵S阴影=S△COD﹣S扇形OBC∴S阴影=8 3 ﹣ 83π ，∴阴影部分的面积为8 3 ﹣ 83π

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