题目

江夏一中高二年级计划假期开展历史类班级研学活动，共有6个名额，分配到历史类5个班级(每个班至少0个名额，所有名额全部分完). （1） 共有多少种分配方案？ （2） 6名学生确定后，分成A、B、C、D四个小组，每小组至少一人，共有多少种方法？ （3） 6名学生来到武汉火车站.火车站共设有3个“安检”入口，每个入口每次只能进1个旅客，求6人进站的不同方案种数. 答案： 解：由题意得：问题转化为不定方程 x1+x2+x3+x4+x5=6 的非负整数解的个数， ∴方程又等价于不定方程 x1+x2+x3+x4+x5=11 的正整数解的个数， 利用隔板原理得：方程正整数解的个数为 C104=210 ， ∴共有多少 210 种分配方案. 解：将问题转化为不定方程 x1+x2+x3+x4=6 的正整数解个数，分组后再进行排列， ∵不定方程 x1+x2+x3+x4=6 的正整数解个数为 C53=10 ， ∴共有 10×A44=240 种方法. 解：设6名学生在3个安检的人数分别为 x1,x2,x3 ， ∵方程 x1+x2+x3=6 非负整数解的个数等价于方程 x1+x2+x3=9 的正整数解的个数， ∴6人进站的不同方案种数为 C82×A33=168 .

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