题目

实系数一元二次方程x2+ax+2b=0有两个根，一个根在区间（0，1）内，另一个根在区间（1，2）内，求： （1） （a﹣1）2+（b﹣2）2的值域． （2） 的取值范围． 答案： 解：方程x2+ax+2b=0的两根区间（0，1）和（1，2）上的几何意义分别是： 函数y=f（x）=x2+ax+2b与x轴的两个交点的横坐标分别在区间（0，1）和（1，2）内，由此可得不等式组 {f(1)<0f(0)>0f(2)>0 ⇔ {a+2b+1<0b>0a+b+2>0 ．由 {a+2b+1=0a+b+2=0 ，解得A（﹣3，1）；由 {a+b+2=0b=0 解得B（﹣2，0）；由 {a+2b+1=0b=0 解得C（﹣1，0），故在图所示的aOb坐标平面内，满足约束条的点（a，b）对应的平面区域为△ABC（不包括边界）．因为（a﹣1）2+（b﹣2）2表示区域内的点（a，b）与定点（1，2）之间距离的平方，所以（a﹣1）2+（b﹣2）2∈（8，17） 解： a+b−3a−1 =1+ b−2a−1 ，而 b−2a−1 的几何意义是点（a，b）和点D（1，2）连线的斜率． 因为kAD= 2−11+3 = 14 ，kCD= 2−01+1 =1，由图可知kAD＜ b−2a−1 ＜kCD，所以 14 ＜ b−2a−1 ＜1，即 b−2a−1 ∈（ 14 ，1），∴ a+b−3a−1 ∈（ 54 ，2）．

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