题目

已知函数 的定义域为 ，且 的图像连续不间断，若函数 满足：对于给定的实数 且 ，存在 ，使得 ，则称 具有性质 . （1） 已知函数 ，判断 是否具有性质 ，并说明理由； （2） 求证：任取 ，函数 ， 具有性质 ； （3） 已知函数 ， ，若 具有性质 ，求 的取值范围. 答案： 解： f(x) 具有性质 P(12) ， 设 x0∈[0,32] ，令 f(x0)=f(x0+12) ，则 (x0−1)2=(x0−12)2 ， 解得 x0=34 ，又 34∈[0,32] ，所以 f(x) 具有性质 P(12) 解：任取 x0∈[0,2−m] ，令 f(x0)=f(x0+m) ，则 (x0−1)2=(x0+m−1)2 ， 因为 m≠0 ，解得 x0=−m2+1 ，又 0<m<2 ，所以 0<−m2+1<1 ， 当 0<m<2 ， x0=−m2+1 时， (2−m)−x0=(2−m)−(−m2+1)=1−=−m2+1>0 ， 即 0<−m2+1<2−m ，即任取实数 m∈(0,2) ， f(x) 都具有性质 P(m) 解：若 m∈(0,1] ，取 x0=1−m2 ，则 1−m2⩾0 且 2−m−1−m2=3−m2>0 ， 故 x0∈[0,2−m] ， 又 f(x0)=sin(π2−mπ2) ， f(x0+m)=sin(π2+mπ2)=sin(π2−mπ2)=f(x0) ，所以 f(x) 具有性质 P(m) ； 假设存在 m∈(1,2) 使得 f(x) 具有性质 P(m) ，即存在 x0∈[0,2−m] ，使得 f(x0)=f(x0+m) ， 若 x0=0 ，则 x0+m∈(1,2) ， f(x0)=0 ， f(x0+m)<0 ， f(x0)≠f(x0+m) ， 若 x0∈[0,2−m] ，则 x0+m∈(m,2] ，进而 x0∈(0,1) ， x0+m∈(1,2] ， f(x0)>0 ， f(x0+m)⩽0 ， f(x0)=f(x0+m) ，所以假设不成立，所以 m∈(0,1]

查看本题答案和解析