题目

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （1） 求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程； （2） 根据变换公式 ， 由曲线变换得到曲线 ， 设点是曲线上的一个动点，设曲线和相交于、两点，求的面积的最大值. 答案： 解：由题意可知，曲线C1是圆心为(2，0)，半径为2的圆，所以，曲线C1的普通方程为(x−2)2+y2=4，将曲线C2的极坐标方程化为22(ρcosθ−ρsinθ)=22，即ρcosθ−ρsinθ=4，因此，曲线C2的直角坐标方程为x−y−4=0. 解：圆心(2，0)到直线AB的距离为d=22=2，所以，|AB|=222−2=22，曲线C3的参数方程为{x=cosαy=3sinα（α为参数），设点P(cosα，3sinα)，则点P到直线AB的距离为d=|cosα−3sinα−4|2=|−2sin(α−π6)−4|2=2sin(α−π6)+22，故d的最大值为32，因此，△PAB面积的最大值为12×22×32=6.

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