题目

已知圆M过点A（1，3），B（4，2），且圆心在直线y=x﹣3上． （Ⅰ）求圆M的方程；（Ⅱ）若过点（﹣4，1）的直线l与圆M相切，求直线l的方程． 答案：解：（Ⅰ）∵圆M过点A（1，3），B（4，2）， ∴线段AB的中点坐标为（ 52 ， 52 ），直线AB的斜率kAB= 3−21−4 =﹣ 13 ，∴AB的中垂线方程为y﹣ 52 =3（x﹣ 52 ），即y=3x﹣5，∵圆心M在直线y=x﹣3上．∴由 {y=3x−5y=x−3 ，得M（1，﹣2），∴r=|MA|= (1−1)2+(3+2)2 =5，∴圆M的方程为（x﹣1）2+（y+2）2=25．（Ⅱ）当直线l的方程为x=﹣4时，符合条件，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y﹣1=k（x+4），即kx﹣y+4k+1=0，圆心M到直线l的距离d= |5k+3|k2+1 =5，解得k= 815 ，∴y= 815x+4715 ，综上，直线l的方程为x=﹣4或y= 815x+4715

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