题目

已知函数 . （1） 若函数 在其定义域内单调递增，求实数m的最大值； （2） 若存在正实数对 ，使得当 时， 能成立，求实数 的取值范围. 答案： 解：由题意得 f′(x)=1x+4x−m ， 函数 f(x) 在其定义域内单调递增，则 1x+4x−m≥0 在 (0,+∞) 内恒成立， 故 m≤1x+4x . 因为 1x+4x≥21x⋅4x=4 （等号成立当且仅当 4x=1x 即 x=12 ） 所以 m≤4 （经检验 m=4 满足题目），所以实数 m 的最大值为4. 解：由题意得 a=b+1 ，则 f(a)−f(b)=f(b+1)−f(b)=4b+2+ln(1+1b)−m ，因此原问题转化为： 存在正数 b 使得等式 4b+2+ln(1+1b)−m=1 成立. 整理并分离得 m=4b+1+ln(1+1b) ，记 g(b)=4b+1+ln(1+1b) ， 要使得上面的方程有解，下面求 g(b) 的值域， g′(b)=1b+1−1b+4=4b2+4b−1(b+1)b ，故 g(b) 在 b∈(0,−1+22] 上是单调递减， 在 b∈(−1+22,+∞) 上单调递增， 所以 g(b)min=g(−1+22)=2ln(2+1)+22−1 ， 又 g(b)=4b+1+ln(1+1b)>4b+1 ，故当 b→+∞ ， g(b)→+∞ ， 综上所述， m≥2ln(2+1)+22−1 ， 即实数 m 的取值范围为 [2ln(2+1)+22−1,+∞) .

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