题目

对于集合 , , , ,定义 .集合 中的元素个数记为 .规定：若集合 满足 ,则称集合具A有性质T. （1） 已知集合 , ,写出 , 的值； （2） 已知集合 ,其中 ,证明：A有性质T； （3） 已知集合A,B有性质 ,且 求 的最小值. 答案： 解：根据定义可得： A+A={2,4,6,8,10,12,14} , B+B={23,1,53,3,43,2,103,83,4,163} . 所以 |A+A|=7， |B+B|=10 解：数列 23,(23)2,(23)3,⋅⋅⋅(23)n 的通项公式为： an=(23)n . 若存在 n1<n2⩽n3<n4,an1+an4=an2+an3 成立，则 (23)n1+(23)n4=(23)n2+(23)n3 ,因此有 (23)n4−n1=(23)n2−n1+(23)n3−n1−1 ,即有 2n4−n1=2n2−n1×3n4−n2+2n3−n1×3n4−n3−3n4−n1 . 等式的左边是2的倍数,右边是3的倍数,故等式不成立,因此等比数列中的任意两项(包括本身与本身)的和不在这个数列中 所以 |A+A| 中的元素的个数为： n+(n−1)+(n−2)+⋯+2+1=n(n+1)2 ,即 |A+A|=n(n+1)2 ,所以 A 有性质 T ； 解：集合A具有性质T,所以集合A中的任意两个元素的和都不在该集合中,也就是集合A中的任意两个元素的和都不相等,对于任意的 a<b⩽c<d 有 a+d≠b+c⇔d−c≠b−a ,也就是任意两个元素的差的绝对值不相等. 设 A*={x−y|x∈A,y∈A,x>y} ,所以 集合 A 具有性质 T ⇔|A+A|=n(n+1)2⇔|A*|=n(n−1)2 , 集合 A , B 有性质 T ,且 n=m |A+B|=n2−|A*∩B*|⩾n2−n(n−1)2=n(n+1)2 (当且仅当 A=B 时,取等号). 所以 |A+B| 的最小值为 n(n+1)2

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