题目

已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）． （Ⅰ）若a=﹣2，求证：函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；（Ⅱ）求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值． 答案：解：（Ⅰ）当a=﹣2时，f（x）=x2﹣2lnx，当x∈（1，+∞）， f'(x)=2(x2−1)x>0 ， 故函数f（x）在（1，+∞）上是增函数．（Ⅱ） f'(x)=2x2+ax(x>0) ，当x∈[1，e]，2x2+a∈[a+2，a+2e2]．若a≥﹣2，f'（x）在[1，e]上非负（仅当a=﹣2，x=1时，f'（x）=0），故函数f（x）在[1，e]上是增函数，此时[f（x）]min=f（1）=1．若﹣2e2＜a＜﹣2，当 x=−a2 时，f'（x）=0；当 1≤x<−a2 时，f'（x）＜0，此时f（x）是减函数；当 −a2<x≤e 时，f'（x）＞0，此时f（x）是增函数．故[f（x）]min= f(−a2) = a2ln(−a2)−a2 若a≤﹣2e2，f'（x）在[1，e]上非正（仅当a=﹣2e2，x=e时，f'（x）=0），故函数f（x）在[1，e]上是减函数，此时[f（x）]min=f（e）=a+e2．综上可知，当a≥﹣2时，f（x）的最小值为1，相应的x值为1；当﹣2e2＜a＜﹣2时，f（x）的最小值为 a2ln(−a2)−a2 ，相应的x值为 −a2 ；当a≤﹣2e2时，f（x）的最小值为a+e2，相应的x值为e

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