题目

如图1，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，点P为BC边的中点，直线a经过点A ， 过B作BE⊥a ， 垂足为E ， 过C作CF⊥a ， 垂足为F ， 连接PE、PF ． （1） 当点B、P在直线a的异侧时，延长EP交CF于点G ， 猜想线段PF和EG的数量关系为； （2） 如图2，直线a绕点A旋转，当点BP在直线a的同侧时，若（1）中其它条件不变，（1）中的结论还成立吗?若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （3） 直线a绕点A旋转一周的过程中，当线段PF的长度最大时，请判断四边形BEFC的形状，并求出它的面积． 答案： 【1】PF=12EG 解：（1）中的结论还成立，证明如下： 延长 EP 交 FC 的延长线于G，如图2所示： 同（1）得： ΔPBE≅ΔPCG(AAS) ， ∴PE=PG ， ∵CF⊥a ， ∴∠EFG=90° ， ∴PF=12EG ； 解：连接 AP ，如图3所示： ∵AB=AC ，点P为 BC 边的中点， ∴BP=CP ， AP⊥BC ， ∴∠APB=90° ， 设线段 AB 的中点为M， ∵BE⊥a ， ∴∠BEA=90° ， ∴ 点P、E都在以线段 AB 为直径的圆上， 当 PE=AB=2 时， PE 取得最大值，此时四边形 BEAP 是正方形， 则四边形 BEFC 是矩形， AE=22AB=2 ， ∴ 四边形 BEFC 的面积 =2 正方形 BEAP 的面积 =2×AE2=2×2=4 ．

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