题目

已知偶函数. （1） 求实数的值； （2） 经过研究可知，函数在区间上单调递减，求满足条件的实数a的取值范围. 答案： 解：由2x−2−x≠0，有x≠0，可得函数f(x)的定义域为(−∞，0)∪(0，+∞)，f(1)=2(m+1)3=2m+23，f(−1)=2(1−m)3=2−2m3，由函数f(x)为偶函数，有2m+23=2−2m3，解得m=0.当m=0时，f(x)=x2x−2−x，由f(−x)=−x2−x−2x=x2x−2−x=f(x)，可知此时函数f(x)为偶函数，符合题意，由上知实数m的值为0； 解：由函数f(x)为偶函数，且函数f(x)在区间(0，+∞)上单调递减，可得函数f(x)在区间(−∞，0)上单调递增，若f(a−1)<f(a2−a)，有{|a−1|>|a2−a|，a−1≠0，a2−a≠0，解得−1<a<1且a≠0，故实数a的取值范围为(−1，0)∪(0，1).

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