题目

已知函数 ， ， ， （1） 若 ，且满足 ， ，求函数 的解析式； （2） 当 时，若对任意 ， ， ，恒有 ，求非负实数 的取值范围． 答案： 解：依题意得： {a2+c=1a4+c=73 ，   ∴a4−a2−72=0 ， 则 (a2−9)(a2+8)=0 ， 则 a2=9 ，得 a=3 ， ∴c=−8 ，则 f(x)=3x−8 ． 解：任取 −1⩽x1<x2⩽1 ， 则 f(x1)−f(x2)=2x1+bx1+c−(2x2+bx2+c)=(2x1−2x2)+b(x1−x2) 又 ∵ 2x1<2x2 ， b⩾0 ， x1−x2<0 ∴(2x1−2x2)+b(x1−x2)<0 ， 即 f(x1)−f(x2)<0 ， ∴f(x1)<f(x2) ， 函数 f(x) 在 [−1 ， 1] 上单调递增， 则函数的最大值 f （1） =2+b+c ，最小值 f(−1)=12−b+c ， 若对任意 x1 ， x2∈[−1 ， 1] ，恒有 |f(x1)−f(x2)|⩽4 ，则需满足 |f(1)−f(−1)|⩽4 ∴|2b+32|⩽4 ，得 −4⩽2b+32⩽4 ，得 −114⩽b⩽54 ， 又 b⩾0 ，则 0⩽b⩽54 ．

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